方桑喜欢的 方桑

吴翔

有12枚硬币，有一枚是假币，其余的真币质量一样，这枚假币不知道比真币重还是轻。要求用天平称3次，找到这枚假币，并求出它比真币重还轻。怎么称呢？                   把12枚硬币分成3组，每组4枚。


第一次用天平：


随意将两组放在天平的两侧，会出现以下两种可能。


一、天平两边平衡。


这时可以确定假币在剩下的4枚硬币中。


第二次用天平：


把剩下的4枚硬币随机拿出3枚，与确定为真币的三枚，分别放在天平的两边比较。


还是有两种可能：


1、两边平衡。


证明随机拿出的这三枚硬币都是真的，剩下的唯一一枚没称过的硬币是假的。


（第三次把假币与真币放在天平两边比较一下，就知道假币的轻重了。）


2、两边不平衡。


证明随机拿出的三枚硬币中有一枚是假的，同时知道了假币的轻重。


（第三次把这三枚硬币拿出两枚放在天平的两端，平衡则剩下的是假的，而且已经知道轻重了。不平衡，根据已知假币轻重，就可判定哪枚是假币了。）


二、天平两边不平衡。


可以确定假币在这八枚硬币中。


将这八枚硬币编成1-8号。（左边的1、2、3、4；右边的5、6、7、8）剩下四枚没称过的真币为9、10、11、12。
第二次用天平：


将1、2、5放在天平左边，3、6、9放在右边。


会有3种可能出现：


1、两边平衡。


证明天平两边的硬币都是真的，假币在4、7、8中。又


（第三次，在4、7、8中随便拿出两枚称一下，就知道结果了。）


2、两边不平衡，且两边的轻重没有发生变化。（比如原来左轻右重，现在还是左轻右重。）


证明假币在1、2、6中。（因为3和5互换后，没有改变结果，所以3和5一定是真币，9已经确定为真币了，所以假币肯定在1、2、6中。）


（第三次，因为第二次用天平的时候，知道了4所在边与7、8所在边的轻重。所以，4、7、8中随便拿出两枚比较一下，结果就出来了。）


3、两边不平衡，且两边的轻重发生了变化。（比如原来左轻右重，现在还是左重右轻。）


证明假币在3和5中。（因为在3和5互换的时候，天平两边的重量发生改变，所以三和5中一定有一枚是假的。我们又知道3和5比较哪个轻哪个重。）


（第三次用天平，随意在3、5中拿出一枚和一枚真的比较，平衡，证明剩下的是假币，又知道轻重了。不平衡，知道称的是假的，知道轻重了。）


说起来很麻烦，不能理解的话，找12枚硬币操作一下，就明白了。

alainfang

13枚都能称出来,12枚没有难度.原始题目是15枚,估计15枚需要比较高深的数学,不是这种解法.

麦国培

吴桑是班门弄爷！

alainfang

15枚的题目原来出自华罗庚考数学研究生的考卷.所以我猜测不是称重能称出来的.

麦国培

看来都是高才！

吴翔

难道用矩阵？

alainfang

据说是用群论可以解答.不过我没有学过群论所以也只是人云亦云

AndyGu